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z = 0，一阶极点
z = ± 2i ，二阶极点
在z = ∞处展开为洛朗级数
(z) = 1/16 * z/(z? + 4) + 1/4 * (z + 4)/(z? + 4)? - 1/16 * 1/z= 1/z? - 1/z? - 8/z? + 8/z? + ...
因为有无穷个负幂项 ，
所以无穷远点为可去奇点。
（一）装置形式及视电阻率公式
联合剖面法是两个三极装置AMN∞和∞MNB联合进行探测的一种电剖面法 。所谓三极装置,是指一个供电电极置于无穷远的装置,如图1-15所示,A、M 、N 、B四个电极位于同一测线上,以M、N之间的中点作为测点,且AO＝BO 、MO＝NO 。电极C是两个三极装置共同的无穷远极,一般敷设在测线的中垂线上,与测线之间的距离大于AO的5倍。
图1-15 联合剖面装置示意图
工作中将A 、M、N 、B四个电极沿测线一起移动,并保持各电极间的距离不变 。在每个测点上分别测出A 、C极供电时的电位差Δ 和电流强度I,B、C极供电时的电位差Δ 和电流强度I,然后按式（1-24）求得两个视电阻率值 和 ,相应地在测线上就有两条视电阻率曲线 。即
电法勘探技术
式中：KA和KB分别为AMN∞装置和∞MNB装置的装置系数,根据式（1-22）可推算出：
电法勘探技术
当极距确定后,K是一个常数。
（二）联合剖面的ρs曲线
1.两种岩石垂直接触面上的ρs异常
（1）ρs表达式
如图1-16所示,设点源A（I）位于垂直分界面左边岩石的地面上,A与分界面的距离为d 。我们采用“镜像法 ”求得电阻率为ρ1和ρ2岩石中任一点M1和M2的电位表达式分别为
电法勘探技术
式中：r和r1为M1点与A和A1点之间的距离；r2为A2点与M2点的距离 。利用边界条件求I1 、I2。
图1-16 求解垂直接触面两边电场分布的“镜像法 ”图示
根据界面上电位连续（U1＝U2）的边界条件得
ρ1（I+I1）＝ρ2I2 （1-32）
再根据界面上电流密度的法线方向连续（j1n＝j2n）的边界条件得
I－I1＝I2 （1-33）
解联立方程,由式（1-32）和式（1-33）得
I1＝K12I,I2＝（1－K12）I
将上式代入式（1-31）得
电法勘探技术
式中： 为反射系数,反映界面对电流的反射作用 。
当观测点M1和M2位于地面时,坐标原点取在A,x为观测点坐标,则根据式（1-34）可得UM 、UN 。对于AMN三极装置而言,在MN→0的情况下,可写出以下三种不同的 表达式：
1）当供电电极（A）和测量电极中点（O）均在ρ1介质中时：
电法勘探技术
式中：x为A至O的距离。
2）当A极在ρ1而O点进入ρ2介质时：
电法勘探技术
3）当A极和O点全部进入ρ2介质时：
电法勘探技术
根据上述AMN装置的三种 计算公式,对于ρ1＞ρ2之计算结果示于图1-17（a） 。同理,对于MNB三极装置而言,当MN→0时, 的计算公式也有以下三种情况：
1）当O点和B极都在ρ1介质中时：
电法勘探技术
2）当O点在ρ1介质中而B极进入ρ2介质时：
电法勘探技术
这种情况下的表达式与（1-36）式相同 。
3）当O点和B极全部进入到ρ2岩石时：
电法勘探技术
根据上述MNB装置的三种 计算公式,对于ρ1＞ρ2之计算结果示于图1-17（b）。
（2）ρs曲线分析
现在以 为例,用电流密度的分布规律来解释 曲线的变化特征。如图1-17（a）所示,根据关系式 ,当装置距离接触面很远时,地中电流的分布几乎与电阻率为ρ1的均匀岩石情况相同,此时jMN＝j0及ρMN＝ρ1,故 ＝ρ1 。当装置右移并逐渐接近接触面时,由于ρ2＜ρ1,ρ2将吸引电流,致使MN处的电流密度增大,即jMN＞j0,所以 ＞ρ1,于是 便逐渐上升 。装置愈靠近接触面,ρ2岩石吸引电流的作用愈强, 也就不断增加,当MN（MN→0）到达接触面时, 有最大值 。反之,如果ρ2＞ρ1,则岩石将排斥电流,MN到达接触面时, 有最小值 。
图1-17 AMN三极装置通过垂直接触面时的剖面曲线
ρ1＝100Ω·m；ρ2＝20Ω·m
当MN极由ρ1岩石进入ρ2岩石时,由于电流密度的法线分量是连续的,即 ＝ ,而ρMN由ρ1跃变到ρ2,所以 在接触面处将发生跃变,并且两侧数值 和 之比等于ρ/ρ 。由于当前ρ＜ρ,故1212 曲线过界面时乃是向下跃变。反之,如果ρ2＞ρ1,则 ,那时 曲线过界面时向上跃变 。
当装置继续向前移动,直到A极到达接触面之前, 将保持为常数值 ,这相当于地下充满了电阻率等于 的均匀介质 。当A极也进入ρ2岩石时, 将随着d的增加而减小,直到A极远离界面时, 便趋于ρ。从地下电流的分布状态来说,当A极2在ρ2岩石中靠近分界面时,由于ρ1＞ρ2,所以ρ1岩石对A极流入ρ2岩石中的电流表现为排斥作用,使得jMN比正常情况（地下全为ρ2岩石）j0大,故 ＞ρ2 。此后,随着装置远离分界面,ρ1岩石排斥电流的作用便逐渐减弱,于是jMN便趋于j0,最后 达到均匀情况时的ρ2值 。
对于 曲线的定性分析方法与 曲线的分析方法相同,但要注意,供电电极B在MN的右侧,这样与 的变化是相反的。即,分析 的变化若从剖面右端向左进行,就与分析 从左向右时的方法相同 。把 和 曲线画在一张图上,即可得到垂直接触面上联合剖面法的ρs剖面曲线 。
（3）ρs曲线特征
如图1-18所示,可见：
1）在远离分界面处ρs趋于ρ1或ρ2,由此可以确定两种岩石的电阻率大小；
2）在界面上出现明显的ρs跃变,由此可以确定界面位置；
3）在界面两侧出现 和 的水平段,依据这个特征也可以确定界面位置。
除上述基本特点外,还有以下一些规律：
1）ρs变化幅度（极大值与极小值间距）与ρ1/ρ2的比值成正比；
图1-18 联合剖面法和对称四极剖面法通过垂直接触面时的ρs 剖面曲线
2）AO的大小只影响异常范围,不影响极值大小；
3）MN增大时,使异常圆滑,极值减小,极值相对接触面位移了MN/2的距离；
4）当有浮土（覆盖层）存在时,曲线变得圆滑,极值也不明显了,但界面位置仍然有ρs曲线跃变,而且浮土越厚,ρs曲线越平缓。
可见,根据以上ρs曲线特征可比较准确地确定直立岩层的分界面,从而可达到地质填图或解决其他地质问题的目的 。
2.脉状体上的ρs曲线
联合剖面法主要用于寻找产状陡倾的层状或脉状低阻体或断裂破碎带,当供电极距大于这些地质体的宽度时,可以把它们视为薄脉状良导体 。由于C极置于无穷远处,联合剖面法的电场属于一个点电流源的电场,均匀介质中点电流源场的电流线呈辐射状分布。
（1）直立低阻脉状体上的ρs曲线特征及定性分析
1）ρs曲线特征：由图119可见,在直立良导薄脉顶部上方, 和 曲线相交,在交点左侧, ,交点右侧, ,且交点处 。这种交点称为“正交点” 。在正交点两翼,两曲线明显地张开,一条达到极大值,另一条达到极小值,形成横“8 ”字形的明显歧离带。
2）ρs曲线分析：图1-19给出了直立良导薄脉上的联合剖面法观测结果,先对 曲线进行定性分析 。当电极A、M 、N在良导薄脉左侧且与之相距较远时,薄脉对电流线的分布影响很小,因而jMN＝j0,ρMN＝ρ1,故 ＝ρ1（曲线点1）；当电极A 、M、N由左至右逐渐移近良导薄脉时,薄脉“吸引 ”由A极发出的电流,使M、N之间的电流密度增大,即jMN＞j0,故 ＞ρ1,曲线逐渐上升（曲线点2）；随着A 、M 、N继续向右移动,良导薄脉对电流的“吸引”逐渐增强,致使 曲线继续上升并达到极大值（曲线点3）；当A、M 、N离薄脉很近时,由于薄脉向下“吸引 ”电流,使得M 、N之间的电流密度反而减小,即jMN＜j0, 曲线开始迅速降低；当A和M、N分别位于薄脉两侧移动时,绝大部分电流被“吸引 ”到良导薄脉中去,这时薄脉起“屏蔽”作用,造成M 、N之间的电流密度更小,故 下降到极小值,且 曲线呈现一段平缓的低值带（曲线4～5段）；当电极A和M 、N都移到薄脉右侧后,再继续右移,薄脉对电流的吸引作用逐渐减弱,jMN逐渐增大,所以 曲线开始上升；直至电极A、M 、N远离薄脉,薄脉对电流的畸变作用可忽略不计,jMN趋于j0, 趋于ρ1为止（曲线5～6段） 。可见曲线在薄脉附近变化最大,且左 、右两侧分别出现极大值和极小值。
用同样的方法可以分析 曲线,由于A、M 、N自左至右移动,与M 、N、B从右至左
移动时视电阻率曲线的变化情况相同 。因此,将 曲线绕薄脉转180°,即可得到 曲线 。
图1-19 直立良导薄脉上的联合剖面和对称四极ρs剖面曲线
图1-20 直立高阻薄脉上联合剖面ρs剖面曲线
（2）直立高阻脉上的ρs曲线特征
图1-20是直立高阻薄脉上方的联合剖面ρs曲线。这里不再详细分析 和 曲线的变化规律,只把它们与低阻薄脉上的曲线做一对比 。可以看出,高阻薄脉上方的两条ρs曲线也有一个交点 。但交点左侧 ,右侧 ,且交点处ρs＞ρ1, ,和低阻薄脉的情况恰好相反,所以称为“反交点 ”。联合剖面曲线的反交点实际上并不明显, 和 曲线近于重合,各自呈现一个高阻峰值,且交点两侧 和 曲线靠得很近,没有明显的歧离带。这是因为对于高阻薄脉而言,无论M、N在它的哪一侧,ρs值都是降低的 。例如,对 曲线而言,当A 、M 、N在薄板左侧时,高阻薄板“排斥 ”电流线使 值下降；当M、N位于薄脉顶部时,由于A极发出的电流线被“排斥”向地表,故出现 极大值；M 、N到达薄脉右侧但A还在左侧时,则由于高阻体排斥电流（起高阻屏蔽作用）,而使 值降低至极小；A 、M、N都在高阻薄脉右侧时, 值随电极排列的右移,先稍有上升,然后下降,直至 趋于ρ1为止 。由此可见,虽然联合剖面法在直立高阻薄脉上也有异常显示,但其效果较在直立低阻薄脉上差,加之与其他对直立薄脉同样有效的电剖面法相比,它的效率又低,因此一般都不用联合剖面法寻找高阻地质体。
（3）倾斜低阻脉上的ρs曲线特征
图1-21 产状不同的低阻脉状体上联合剖面和对称四极剖面法的ρs曲线
（a）α＝90°；（b）α＝60°；（c）；α＝30°ρ1＝1Ω·m；ρ2＝0.01Ω·m；AO＝30 m；MN＝10 m
图1-21示出了用数值方法计算的不同倾角时低阻薄脉联合剖面ρs曲线 。由图可见,当脉体向右倾斜时,两条曲线是不对称的, 较 曲线变化幅度大,但仍有明显的正交点,且交点随着倾角α的减小而逐渐远离脉顶,向脉的倾斜方向位移 。这是因为脉体倾斜时向下吸引电流的作用比直立时强,使测量电极M 、N处的电流密度jMN＜j0,从而导致沿倾斜方向上的ρs曲线普遍下降。显然,如果脉状体向左倾斜,则 曲线的变化幅度将较 曲线大 。
实际工作中,可以根据不同极距的联合剖面ρs曲线的交点位移情况来判断地质体（岩层或断层）的倾向,小极距反映浅部情况,大极距反映深部情况 。若大小极距的低阻正交点位置重合,说明地质体直立,如图1-22（b）所示；若大极距相对小极距的低阻正交点有位移,说明地质体倾斜,如图1-22（a）所示。位移越大,倾角越小 。大极距交点位移方向代表地质体倾同,异常特征有较大的变化 。
3.球体上的ρs异常曲线
等轴状地质体（如充水溶洞等）可
以用球体模型来模拟。如图1-23所示,给出了ρ2/ρ1＝0.05,h0＝1.5r0的低阻球体上方不同极距的联合剖面法及对称四极剖面法的视电阻率曲线 。由图可知,在低阻球体上方也出现了正交点,当极距加大到球心埋藏深度的2～3倍（如AO＝4r0）时, 和 除在交点两侧有两个主极小点外,在距交点较远的两边还相应地出现两个次级极小点,它们分别是供电电极A和B位于球顶正上方时对应的ρs值,因此,次级极小点与球顶上方ρs交点间的坐标距离大约等于AO或OB的长度 。对比图1-23中的 和 曲线还可看出,随着极距加大,主极值处ρs曲线的分异性变差,两个主极小点之间的距离也变小。
随着供电极距进一步增大（如AO＝8r0）,次级极小点处的异常变小,距交点更远。同时,交点附近ρs曲线的分异性更差, 和 曲线的主极值已趋于重合,两条曲线几乎变成一条曲线 。
图1-22 不同极距ρs对比曲线同构造倾向的关系示意图
（a）倾斜断层；（b）直立断层1—表土层；2—断层；3—高阻石英岩
图1-23 低阻球体上联合剖面法和对称四极剖面法的ρs曲线
4.实测曲线的分析和处理
前面讨论的是在地形水平 、围岩电性均匀条件下联合剖面法ρs曲线的特征 。实际工作中地表电性不均匀可以引起ρMN的变化,地形起伏可以影响jMN的分布,有时单纯地形影响就会引起与导电体相似的异常,相邻导电体的干扰也可以造成异常的畸变。这些因素都将使ρs曲线复杂化,因此在资料解释前必须结合实地情况对实测曲线进行分析,消除干扰因素,辨认出导电体引起的异常,才能进行正确的地质解释 。
（1）表土不均匀对ρs曲线的影响及消除
野外工作中,地表覆盖层电性不均匀将导致 和 曲线出现锯齿状跳动 。当极距L大于电性不均匀体半径的5倍时,局部不均匀体对 和 的影响近于相等,两曲线呈同步跳动,如图1-24（b）所示。这时可取FA＝ 和
FB＝ 来消除表土不均匀的影响,如图1-24（a）所示 。FA和FB曲线不仅消除了电性局部不均匀的影响,而且在导电体顶部出现了比较清晰的正交点 。
图1-24 表土不均匀对联合剖面ρs曲线的影响及消除
（2）地形对ρs曲线的影响及消除
图1-25是无限长斜坡的山脊上的联合剖面视电阻率曲线。为了分析地形影响,可将顶角为90°的山脊地形和水平面进行对比 。当A、M 、N都在左坡时,相当于水平情况下右侧介质被电阻率ρ→∞的空气所替代,如图1-25（a）所示 。当A 、M、N向山顶移动时,jMN因受高阻空气的“排斥 ”作用而减小, 随之减小并在山顶取得极小值。当M 、N越过山顶后, 开始上升 。当A 、M、N都在右坡时,如图1-25（b）所示,同样由于左侧介质被电阻率ρ→∞的空气所代替,因而A位于山顶时高阻空气“排斥 ”电流作用最强,使jMN和 取得极大值 。A、M 、N顺着右坡远离山顶移动,“排斥”作用逐渐减弱, 值开始下降,在远离山顶足够远时, 将等于介质电阻率ρ0, 曲线为 的“镜像”,于是在山脊上出现“反交点 ”,但交点的ρs值较低,且位于两曲线极小值处。用同样的方法分析可知,山谷地形上联合剖面曲线将出现一个“正交点 ”,但交点的ρs值较高,且位置正好落在谷底。
实测ρs曲线中往往同时存在地形和地质体的影响 。为了消除地形影响,突出地质体的异常,可采用比较法做地形改正,即
电法勘探技术
式中： 是实测ρs值； 是由纯地形引起的ρs值；ρ0是模拟地形介质的真电阻率值； 是消除了地形影响后的ρs值 。 值可采用数值方法计算,也可以通过物理模拟实验得到。
图1-26是利用比较法进行地形改正的例子 。地改前,实测曲线仅在山坡下的构造破碎带上出现平行低阻异常带,地改后,在破碎带顶部出现明显的低阻正交点 。
图1-25 无限长斜坡的山脊上联合剖面法实验曲线
（a）电极排列在左坡时的等效剖面；（b）电极排列在右坡时的等效剖面
图1-26 地形改正实例
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