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高维空间中低维点集的测度及低维点集上的积分理论 。 20世纪初测度论的建立，使得人们对Rn中的子集关于n维勒贝格测度μn的行为有了很好的了解
。大部分函数论由于勒贝格积分论而产生了巨大变化。但是在处理与Rn中低维点集有关的数学问题时遇到了困难 。例如著名的普拉托问题 ，在二维曲面时尚可以结合共形变换和狄利克雷原理巧妙地应用勒贝格方法而解决
。而在曲面的维数超出2时,这些经典的方法就失败了。几何测度论正是在这种背景下产生 。它始于1914年C.卡拉西奥多里关于测度论的基础性工作
，经过几十年的发展，熔合了来自分析、几何 、代数拓扑中的许多技巧 ，产生了许多新的概念
，成为数学研究的一个有力工具
。 豪斯多夫测度与可求积集合 在卡拉西奥多里的工作出现以后的开始20～30年内，大部分的兴趣在于了解Rn中的子集关于m 维豪斯多夫测度, 积分几何测度等各类测度的行为。对于A嶅Rn,0≤k<∞,δ>0,定义A的k维豪斯多夫测度（简称hk测度）为  ，式中 。hk测度是Rn中的一个博雷尔正则测度。又定义inf{k:hk(A)=0}为A的豪斯多夫维数,简称h 维数
。当k=n时，hn(A)=μn(A)
，n=0时h0(A)为A的元素个数。0和n中间每个数均可出现为Rn中某个子集的h 维数 。例如康托尔集的h 维数为ln2/ln3
。 设A的hk测度有限, 在k>0时,若存在Rk中某个有界子集到 A的李普希茨映射（即二点距离的增长比受到某个正常数控制的映射）,那就称A为k可求积集（k=0时为有限集，也称可求积集）。如果A除了一个hk测度为0的子集外,为可列个k可求积集合覆盖,就称A为(hk,k)可求积集 。集合的可求积性质是一阶光滑流形的某种推广
。事实上,A为(hk,k)可求积集合的充要条件是：除了一个hk测度为0的子集外,它可由Rn中可列个C1类k维子流形所覆盖。可求积集合的这种描述使得对于它的构造的研究 ，特别是它的射影性质的研究成为几何测度论的重要内容 。在A不含有hk测度大于0的k可求积子集时,称A为纯粹(hk,k)不可求积集合
。 设p:Rn→Rk为正交射影,即保持内积不变的线性映射。其共轭记为p*,它的全体记为(n,k),正交群O(n)=O(n,n)通过右乘可递地作用在(n, k)上 。这个运算在(n,k)上诱导出惟一的不变测度θ*,使得空间(n,k)关于θ*的全测度等于1
，那么当A为(hk,k)可求积集合时，成立 式中
。上式右边即为A的积分几何测度I ，它先在A与n-k维仿射子空间p-1(y)的交集上积分
，然后让p取遍所有正交射影。因此这个式子反应了 (hk，k)可求积集合的射影性质 。这是求平面曲线长度的克罗夫顿方法的推广 ，也类似于柯西寻求凸体周界面积的方法。另一方面, 对于hk测度有限的任何博雷尔集B
，总存在博雷尔子集C嶅B,使得，,且(B\C为纯粹(hk,k)不可求积
。进一步,成立,当且仅当B为(hk,k)可求积。以上这些结果首先为A.S.贝斯尔科里奇对平面上的h1测度得到 。1947年 ，H.费德雷尔证明了一般情形
。 在几何测度论发展早期就知道
，对于Rn中每个勒贝格可测集W以及Rn到Rk的李普希茨映射?0?6，有面积公式  ，式中Jk?0?6(x)为?0?6的雅可比式。在?0?6为一一时，右边的积分就等于hk(?0?6(W)),因此对于n可求积集合,它的hn测度就等于微分几何中的 n维体积 。利用映射在一点“近似可微 ”这个概念, 可以将这个公式推广到Rn中的(hk,k)可求积集合
。但在?0?6(W )的h 维数小于n时
，公式反映的信息很少。1957年，费德雷尔证明：对每个李普希茨映射,及每个μn可测集W 成立余面积公式：  。面积公式与余面积公式分别应用于目标空间的维数至少为n与至多为n的情形
。因此可将它们看成是对偶的公式 ，余面积公式也已被推广到(hk,k)可求积集合的情形。这些公式的研究使得人们了解到
，关于可微映射的积分变换的本质上的假定在于对这个映射的雅可比式秩的限制 。 密度 密度与近似切锥是描述一个测度局部行为的两个重要概念
。对于拉东测度v，以α为心,r为半径的球关于v的测度与的比值 ，在r→0时的上极限与下极限分别称为测度v在α点的k维上密度与k维下密度。二者相等时就称为k维密度 k(v,α) 。利用上密度可以定义集合的近似切锥
，它何时成为向量空间与该集合的可求积性质和射影性质有着深刻的联系。利用密度定义的另一个重要概念是集合在一点的外法线
。当集合有光滑边界时，这个概念非常直观 ，在一般情形相当复杂。 给定点集Q
，如下定义新的测度у墯Q:集合G关于у墯Q 的测度у墯Q(G)=у(Q∩G) 。集合A在一点b的外法线是如下确定的一个单位向量u=n(A，b),当Q1为过b点且以u为法向的超平面围成的半空间(x-b)·u>0时 ，,Q2为另一半空间(x-b)·u<0时,
。这个概念只含有点集A关于μn的测度论行为
，而不用预先知道A的拓扑结构,甚至边界的概念也未提到。这样可塑的概念使高斯-格林公式推广到相当一般的程度:设集合A嶅Rn,令, 。如果对每个紧集,那么对Rn上有紧集的每个李普希茨一阶向量场ξ，成立 
。另一方面 ，若以BdryA记A的普通边界，那么在对Rn的每个紧集K
，都有时,上述条件满足，从而推广的高斯-格林公式也成立。 整流 长期以来 ，人们就寻求着n维空间中“k维积分区域
”的分析与拓扑的描述 。这个概念应该保留微分流形的光滑性与整系数多面体链的组合性质所带来的好处
，同时为满足变分的需要，这类区域应具有某种紧致性质
。“整流”正是为这样的需要而产生。 设U 为Rn中的开集 ，以m(U)记紧支集落在U内的m 阶光滑微分形式全体 。m(U)上的线性泛函称为m维流,其全体记为m(U)
。流S ∈m(U)的支集sptS理解为U内的最小相对紧子集C, 使得对一切满足 sptφCU\C的 φ∈m(U ), 有S(φ)=0。流这个概念是由法国数学家G.-W.德·拉姆为研究霍奇理论而引入的 。由于一个曲面决定于对定义在它上面的任意 m阶光滑微分形式的积分运算。因此m 维几何曲面可以分析地表示成一个流
。特别地,由点α0,α1,…,αm生成的单纯形若落在U内,那么它也代表一个流。这种流的整系数线性组合
，称为U中的一个整系数多面体链 。如果一个流可以用整系数多面体链关于李普希茨映射的像来逼近，就称它为可求积流
。利用边缘算子д可以构成新的流дS,定义为дS(φ)=S(dφ)。这里d为外微分运算 ，如果S与дS均为可求积流,就称S为整流 。例如每个一维整流是总长度小于∞的有限多条单弧与可数条单闭弧的和
。Rn 中的每个n维整流可表示成,其中e1,e2,…,en为Rn的切空间的标准基
，A为使得推广的高斯-格林公式成立的勒贝格可测集。当1<m<n时，Rn中的m维整流是相当复杂的 。但重要的是 ，由紧支集在同一有界集内且按某个范数有界的整流组成的集是紧的
。正是这一点形成了变分学中新的几何方法。 如果流S可以表示成R+дT
，R和T都是可求积流,就称S为整平坦链 。利用边缘算子可以建立这类流的同调理论
。它与局部李普希茨范畴内的
、整系数的经典奇异同调论同构。但对于积分问题，相交理论等 ，这种链群明显地优于奇异链群 。因为与奇异链不一样，一条平坦链与其分刈等同,这就简化了循环的构造,并得到较好的实系数上循环。不仅如此
，还发现所谓的等周不等式不仅对经典的微分几何中某些特殊情形成立，而且对这种同调论有类似估计 ，这就将代数拓扑与测度论联系起来了
。 可以用流的理论来研究普拉托问题
，存在性定理表明极小曲面总是一个m维局部可求积流，即这样的流S∈m(U),对每个x∈U ，总存在紧支集在U内的可求积流R
，使x媂spt(S-R)。曲面的光滑性问题就是sptS的光滑性问题 。若α∈sptS存在领域V嶅Rn,使V∩sptS为C2类m维子流形,就称α为正则点，否则就称奇点
。由于几何测度论的发展,使高维普拉托问题取得重大进展。当m ≤6时极小曲面是光滑的,在m≥7时奇点集的h 维数不超过m-7 。 类似于局部可求积流 ，可以定义局部整流
，局部整平坦流
。后者与流形上分析中的实解析子簇与复解析子簇有十分密切的关系。 弱可微函数 又称有界变差函数 。Rn上光滑函数的可微性可以用这样的方法来刻画：对于Rn上有紧支集的李普希茨向量场ξ，成立  ，但是右边的积分并不一定要求?0?6光滑,仅要求?0?6局部μn可积
。因此ξ(x)的这个线性泛函可以看成 ?0?6 的测度论意义下的弱微分
，只要它满足里斯表示定理的有界性假定。这种?0?6 称作弱可微函数 。开集上的弱可微函数全体记为BV(),则BV()按范数形成巴拿赫空间
。弱可微函数曾在各种场合下出现，首先在勒贝格面积论 ，而后在偏微分方程论中，特别地
，它是极小曲面的理论中的有力工具。

参考资料：

惠特尼一生发表近80篇论文，三种专著 ，即《几何积分论》(Geometric integration theory
，1957)、《复解析簇》(Complexanalytic varieties，1972)和《数学活动》(Math activities ，1974)．他是一系列新概念 、新理论的开创者
，其中最主要的是拟阵
、上同调、纤维丛 、示性类
、分类空间、分层等．

图论

惠特尼一生对四色问题感兴趣，他最早和最后的数学论文都是关于四色问题的．他给出四色问题的等价命题并研究可约性问题．从四色问题出发他研究一般图论 ，特别是得出两图同胚的条件：如G和 G’是两连通图
，均不包含三个形如 ab，ac ，ad的弧．若存在任意具有公共顶点的两弧到另一图的具有公共顶点的两弧之间的一一对应
，则两图同胚．他定义图的连通度，并给出n重连通的充分必要条件(所谓n重连通是指至少n+1个顶点的图不可能因去掉n-1个或更少的顶点以及连接它们的弧而使所得的图不连通．如果图Gn重连通但不n+1重连通 ，则称连通度为n)．他还定义图G的对偶G’，证明图G可嵌入平面的充分必要条件是G具有对偶图G’
，从而给著名的K．库拉托夫斯基(Ku－ratowski)不可嵌入平面图的定理一个直接的组合证明．

他的博士论文是关于图的着色问题，其中证明M(λ)的公式并进行计算 ，这里M(λ)是用λ种颜色给一图不同着色方法数
，他引进一组数mij，它们不仅可用来计算M(λ) ，还可定义图G的拓扑不变量；

其中R为图G的秩
，N为G的零度．他利用这些不变量研究图的分类问题．

惠特尼在组合论方面的最大成就是他引进拟阵(matroid)理论，这是一种抽象的线性相关性理论 ，它不仅包含图论为其特例
，而且还包括网络理论 、综合几何以及横截(transversal)理论等．他的出发点很简单，考虑矩阵M的列C1 ，C2
，…，Cn ，这些列的子集或者线性独立或者线性相关，从而所有子集可划分为两类
，这些类并非任意，它必须满足下面两个条件：

(1)一个独立集的任何子集也是独立的；

(2)如果Np及Np+1分别是p个列及p+1个列的独立集 ，则Np加上Np+1中的某个列构成一个独立的p+1集．

他把满足这两个条件的系统称为拟阵
，并把许多图的性质推广到拟阵上．

可微映射和奇点理论

(1)可微函数的解析延拓 惠特尼对拓扑学的主要贡献是建立微分拓扑学，为此 ，必须将拓扑学考虑的连续映射推广到可微情形．惠特尼在他早期工作中(1932—1942)就为此奠定基础．

1925年苏联数学家П．C．乌雷松(Улысон)证明
，如A是n维欧氏空间E中的闭集(有界或无界)，f(x)为A中定义的连续函数 ，则f可延拓成为整个E上的连续函数F．惠特尼在1932年证明
，存在F不仅连续，而且在E—A上可微 ，甚至解析；如果f(x)在A中属于Cm
，则在A中F与f相等，且F的到m阶的各阶导数与f的各阶导数对应相等．其后他又考虑A为任意子集合的情形．此时在包含A的开集上可微阶降1．他还研究泰勒展开的余项的可微性问题 ，这些对研究奇点理论很重要．

(2)奇点理论 奇点理论是惠特尼最重要的创造之一，它来源于微分嵌入及浸入问题
，奇点是临界点的推广．1942年他首先

研究n维欧几里得空间En到E2n-1的微分映射f的奇点，发现使f微小变化 ，可得f*
，它的奇点是弧立奇点，并可化为标准型：

yi=xi(i=2 ，…
，n)，

ym+i-1=xixi(i=2 ，…
，n)．

1955年，他首先对于平面E2到E的奇点类型进行分类；结果只有两类 ，一类是折点(fold)
，其标准型为另一类是尖点(Cusp)，其标准型为

通过这篇论文 ，开创了奇点理论．1956年他又对En→Em的微分映射奇点的一些情形进行分类并得出标准型，其中包括n≥m=2
，3以及(n，m)=(4 ，4)
，(5，5) ，(5
，4)，(n ，2n-2)等情形．对于其他的En→Em
，其中n=3，4 ，m=4
，…，2n-3 ，在当时所知甚少．这个基本的奇点分类问题连同其他问题形成了奇点理论的热门．同年R．托姆(Thorm)运用自己的横截理论以及普遍开折理论首先取得突破，这项研究成为后来他的突变理论的基础．其后1968—1971年J．麦泽(Mather)建立稳定性理论及决定性理论
，1967年起以苏联数学家B．И．阿诺尔德(Арнолъв)为首的苏联学派在理论及应用方面取得辉煌的成就．

1948年他还发表了“论可微函数的理想 ”(On ideals of di－fferentiable functions)，这开辟了奇点理论另一个新方向．后来B．马格朗日(Malgrange)等对这方面有很大突破 ，包括证明“预备定理
”．

(3)分层理论 分层理论是惠特尼最后创造的理论
，从某种意义上说，也是奇点理论的自然延续．通常研究的欧氏空间及流形均有很好的齐性结构(局部具有相同的结构) ，但这点即使对代数簇也不满足
，特别是由解析几何延续下来的实代数簇一般存在奇点．从1957年到1965年惠特尼研究实代数簇的拓扑学，并讨论把簇分解为流形 ，1957年引进惠特尼层化的概念
，并且对代数簇及解析簇进行层化分解，这概念后来被托姆发展成分层集理论 ，在奇点的局部及大范围研究中起重要作用．1965年S．武雅谢维茨(ojasiewica)证明任何半解析集均有惠特尼分层．1965年惠特尼对解析簇定义了切向量、切平面族及切锥的概念
，并考虑剖分时切集的协调问题．

微分流行的拓扑学

虽然庞加莱甚至黎曼已研究微分流形的拓扑学，但是由于工具不足 ，真正创立微分流形的拓扑学以及微分拓扑学的是惠特尼，他在1936年的论文“微分流形”(Differentiable manifolds)中
，奠定了微分流形理论基础．他给出微分流形的内蕴定义，定义其上的Cr结构(1≤r≤∞) ，他证明所有Cr流形的Cr结构都包含C∞坐标系
，且其C∞结构唯一确定．这个C∞结构称为该流形的可微结构或微分结构或光滑结构，相应的流形称为可徽流形或微分流形或光滑流形 ，微分流形与拓扑流形有本质的差别
，即一个拓扑流形上可以不容许任何微分结构也可以容许多个微分结构，但是任何微分结构部容许实解析结构 ，而且还容许黎曼度量
，这些也是惠特尼证明的．在这篇论文中，他证明了一些最基本的定理 ，特别是嵌入及浸入定理：任何n维微分流形均可微分嵌入在R2n+1(2n+1维欧氏空间)中
，均可微分浸入在R2n中．1944年他又改进为n维微分流形可嵌入于R2n中，可浸入于R2n-1中．对于某些流形 ，这些结果已臻至善．这个工作开拓了微分流形的一个重要领域，其后
，吴文俊等许多拓扑学家做出了贡献．

纤维丛及示性类

惠特尼在1935年首次定义真正的“纤维空间 ”，当时他称为“球空间
” ，1940年他改称为“球丛”
，在1937年及1941年他对此作两个报告，包括许多根本的结果 ，他还打算对此写一本书
，始终没有完成．他的兴趣一直集中于“示性类 ”(Characteristic class)上．他于1936年和瑞士数学家E．施蒂费尔(Stiefel)在1935年独立地定义这种示性类，后来称为施蒂费尔-惠特尼示性类．他的目的是用示性类来研究微分流形的拓扑学．对此 ，纤维丛只是一个工具
，所以他的定义并非每一细节都讲得很清楚，但是他的定义是很一般的．1940—1950年间 ，纤维丛成为研究许多拓扑问题(特别是同伦
、同调及微分几何问题)的主要工具．1949/1950年度的嘉当讨论班以纤维丛为专题进行系统讨论
，1951年N．E．斯廷洛德(Steenrod)的专著《纤维丛的拓扑学》(Topology of fi－ber bundles)的出版，标志着纤维丛理论的成熟 ，其中惠特尼做出突出贡献．

(1)分类问题 从一开始，惠特尼就主要研究纤维丛的分类问题
，1937年他对球丛得出分类空间，即格拉斯曼流形Gn ，r
，并断言底空间为B、秩为r的球丛同构类为〔B，Gn ，r〕
，即B到Gn,r映射的同伦类(nr)，他给出证明概要 ，1943年斯廷洛德完成了证明
，后称惠特尼-斯廷洛德定理．

惠特尼还知道以B为底空间的球丛的丛空间只依赖于B的同伦型．这事实于1939年为J．费尔德波(Feldbau)所证明，另一方面 ，惠特尼早在1935年
，对纤维丛ξ及连续映射g：B’→B构造新纤维丛g *(ξ)并称为g的拉回(Pull－back)，在研究纤维丛的分类中至关重要．1959年在和A．道尔德(Dold)合作的论文(文献中) ，对4维复形上的定向球丛进行分类．

(2)示性类 施蒂费尔只考虑微分流形的切丛的示性类，而惠特尼考虑的要广得多
，他考虑任意球丛(E，B ，P)的底空间B也可以是任意局部有限的单纯复合形．他把示性类定义为施蒂费尔流形Sn
，m的整系数同调类．他指出，Sn ，m的同调群

1937年
，他改用上同调定义未性类．1940年他指出，对于连续映射

g：B’0→B ，

如果E’=g*(E)为E的拉回
，则

Wr(E’)=g*(Wr(E))．

同时他给出惠特尼的和公式：定义同一底空间上两球丛E′，E〃的惠

其中∪表上积 ，他指出当r≥4
，证明“极难”，1941年他只给出E及E′都是线丛的证明．公开发表的第一个证明是吴文俊在1948年给出的．他还用向量丛取代球丛 ，同年陈省身也发表另一个证明．

惠特尼还给出示性类的形式幂级数以及偶示性类的概念．至此，施蒂费尔-惠特尼示性类的理论基础正式建立．其后
，J．米尔诺(Milnor)以惠特尼提出的四个定理为公理开展示性类理论，而且其他的示性类特别是Л．C．庞特里亚金(Понтрягин)示性类及陈省身示性类（简称陈类）也是依据施蒂费尔-惠特尼示性类的模式定义及研究的．

(3)示性类的应用 示性类在拓扑学及几何学巾起着极为重要的作用 ，惠特尼本人主要应用示性类来研究浸入问题．例如
，他证明8维实射影空间P8(R)不能浸入到R14中，但能浸入在R15中 ，他的理论后来为吴文俊等所发展．

代数拓扑学

1935年是代数拓扑学的转折点
，其主要标志是上同调理论与同伦理论的建立．在庞加莱引入同调概念40年后，四位数学家几乎同时独立地引入上同调概念 ，他们是J．W．亚历山大(Alexander) 、惠特尼
、E．切赫(Céch)、A．H．柯尔莫哥洛夫(Колмогоров)．当其他三位在1935年莫斯科会议宣布结果时
，惠特尼的结果已经发表，上同调类由于有上积 ，从而有环结构
，比同调包含更多的拓扑信息．

同伦论中，1937年惠特尼用上同调来表述霍普夫-胡列维茨(Hurewicz)判据 ，如果X是n维局部有限胞腔复形，Y是n维(n-1)连通空间
，则f，g：X→Y同伦当且仅当

Hn(Y；Z)→Hn(X；Z)．

由此推出

〔X ，x0；Y
，y0〕→Hn(X；πn(Y))

是一一对应．对于不同维的映射，这些条件不一定成立 ，惠特尼在1936年给出过2维复形到2维或3维射影空间的映射同伦的代数条件
，但未发表．1941年，H．E．罗宾斯(Robbins)推广到2维复形到任何空间的映射的同伦分类 ，后来P．奥兰姆(Olum)又大规模地予以简化及推广．对3维复形
，庞特里亚金在1941年考虑它到S2的映射同伦分类，其中首先应用新出现的上积．其实惠特尼早在1936年已得出相应结果．1948年 ，他研究单连通空间R的第二及第三同伦群的关系
，并据此给出3维复形k到R中两个连续映射同伦的充分必要条件以及映射扩张的阻碍类．还应该指出，1938年惠特尼引进阿贝尔群的张量积概念 ，这对代数拓扑学及同调代数是必不可少的工具．

几何积分论

1946—1957年间，惠特尼建立几何积分论．它是更一般的积分理论
，例如n维空间中的r维积分．借此，他给上链 、上闭链等一个解析的解释 ，例如几何上链是处于“一般位置
”的奇异链上的函数．这样
，他把 E．嘉当(Cartan)及 G．德·拉姆(de Rham)的外微分形式理论中的可微条件换成李普希茨(Lipschitz)条件得出的积分理论等价于代数上同调理论，对于更一般的李普希茨空间也成立 ，它包括多面体及绝对邻域收缩核为其特例
，特别是把斯托克斯(Stokes)定理推广到李普希茨空间上，他的理论总结在《几何积分论》(1957)一书中．

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