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几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，是当时整个希腊数学成果 、方法 、思想和精神的结晶 ，其内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发展有着巨大的影响 。自它问世之日起 ，在长达二千多年的时间里一直盛行不衰。它历经多次翻译和修订，自1482年第一个印刷本出版后 ，至今已有一千多种不同的版本 。除了《圣经》之外 ，没有任何其他著作，其研究、使用和传播之广泛 ，能够与《几何原本》相比 。但《几何原本》超越民族 、种族 、宗教信仰、文化意识方面的影响 ，却是《圣经》所无法比拟的。
公元前7世纪之后，希腊几何学迅猛地发展，积累了丰富的材料 。希腊学者们开始对当时的数学知识作有计划的整理 ，并试图将其组成一个严密的知识系统 。首先做出这方面尝试的是公元前5世纪的希波克拉底（Hippocrates） ，其后经过了众多数学家的修改和补充。到了公元前4世纪时，希腊学者们已经为建构数学的理论大厦打下了坚实的基础 。
欧几里得在前人工作的基础之上 ，对希腊丰富的数学成果进行了收集 、整理 ，用命题的形式重新表述，对一些结论作了严格的证明 。他最大的贡献就是选择了一系列具有重大意义的 、最原始的定义和公理 ，并将它们严格地按逻辑的顺序进行排列 ，然后在此基础上进行演绎和证明，形成了具有公理化结构的 ，具有严密逻辑体系的《几何原本》。
《几何原本》的希腊原始抄本已经流失了 ，它的所有现代版本都是以希腊评注家泰奥恩（Theon，约比欧几里得晚七百年）编写的修订本为依据的。《几何原本》的泰奥恩修订本分13卷 ，总共有465个命题 ，其内容是阐述平面几何、立体几何及算术理论的系统化知识 。
第一卷首先给出了一些必要的基本定义 、解释 、公设和公理，还包括一些关于全等形、平行线和直线形的熟知的定理 。该卷的最后两个命题是毕达哥拉斯定理及其逆定理。这里我们想到了关于英国哲学家T．霍布斯的一个小故事：有一天，霍布斯在偶然翻阅欧几里得的《几何原本》 ，看到毕达哥拉斯定理 ，感到十分惊讶，他说：“上帝啊！这是不可能的 。 ”他由后向前仔细阅读第一章的每个命题的证明 ，直到公理和公设 ，他终于完全信服了 。 第二卷篇幅不大，主要讨论毕达哥拉斯学派的几何代数学。
第三卷包括圆、弦 、割线 、切线以及圆心角和圆周角的一些熟知的定理 。这些定理大多都能在现在的中学数学课本中找到 。第四卷则讨论了给定圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题。
第五卷对欧多克斯的比例理论作了精彩的解释 ，被认为是最重要的数学杰作之一 。据说 ，捷克斯洛伐克的一位并不出名的数学家和牧师波尔查诺（Bolzano，1781－1848） ，在布拉格度假时 ，恰好生病，为了分散注意力 ，他拿起《几何原本》阅读了第五卷的内容 。他说 ，这种高明的方法使他兴奋无比，以致于从病痛中完全解脱出来。此后，每当他朋友生病时 ，他总是把这作为一剂灵丹妙药问病人推荐 。
第七、八 、九卷讨论的是初等数论 ，给出了求两个或多个整数的最大公因子的“欧几里得算法 ”，讨论了比例 、几何级数 ，还给出了许多关于数论的重要定理 。
第十卷讨论无理量 ，即不可公度的线段，是很难读懂的一卷。最后三卷 ，即第十一、十二和十三卷 ，论述立体几何。目前中学几何课本中的内容，绝大多数都可以在《几何原本》中找到 。
《几何原本》按照公理化结构 ，运用了亚里士多德的逻辑方法 ，建立了第一个完整的关于几何学的演绎知识体系 。所谓公理化结构就是：选取少量的原始概念和不需证明的命题，作为定义 、公设和公理 ，使它们成为整个体系的出发点和逻辑依据 ，然后运用逻辑推理证明其他命题。《几何原本》成为了两千多年来运用公理化方法的一个绝好典范 。
诚然，正如一些现代数学家所指出的那样，《几何原本》存在着一些结构上的缺陷 ，但这丝毫无损于这部著作的崇高价值 。它的影响之深远．使得“欧几里得”与“几何学 ”几乎成了同义语。它集中体现了希腊数学所奠定的数学思想 、数学精神 ，是人类文化遗产中的一块瑰宝 。
芙蓉落尽天涵水， 日暮沧波起 。背飞双燕贴云寒 ，独问小楼东畔倚阑看。浮生只合尊前老 ，雪满长安道 。
毕达哥拉斯的弟子却发现正方形的边长与其对角线是不可公度的 。即不论划分多小，都没有一个c可以均匀地分割正方形的边长和对角线。这就是第一个被发现的无理数√2 。
建立在“任何两个量都是可公度 ”这一理论基础上的毕达哥拉斯学派数学大厦迅速崩坏 ，这一发现动摇了整数至高无上的地位 ，因为如果并非一切量都可公度，那么想要表示所有线段长度 ，光靠整数比就不够了 。
他们处死了发现这个数的学生 ，但这抹杀不掉无理数的存在，越来越多的无理数被发现。
由于无理数的算术性质非常神秘 ，希腊人认为 ，最好完全回避采用数字的表达形式，而全神贯注于通过简明的几何体来表达量。就这样，开启了长达一千年的几何对算数绝对优势的希腊数学新篇章 。
扩展资料
在公元前 6 世纪 ，受到毕达哥拉斯的影响 ，古希腊数学家们都认为，所有物理或几何的量都是一个整数或是整数的比值 ，称为“有理数” 。
很快 ，他们意识到自己需要用到一些不同于有理数的数。? 比如，我们可以用一个数与其自身相乘 ，得到它的平方；相反的运算可以得到平方根 。但是 ，没有任何一个有理数是 2 的平方根；然而，边长为 1 的正方形的对角线正是这个值 ，记作?√2 。
同样 ，为了用栅栏圈起一块 2 平方千米大的正方形场地，你要准确计算场地的周长 ，计算结果是 4√2?千米 ，这也是个无理数。一个直角边为 1 米和?2 米的直角三角形的斜边长为√5 米，这也是个无理数 。(?√5-1)/2?的值被用来定义最美的人体比例 。
传统上，这是分割一段长度的最完美的比例 ，其定义方法是：较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值——同样是个无理数。事实上 ，所有无理数与某一有理数进行加减乘除运算后得到的仍是无理数 。
百度百科-无理数
作者：舒亶 出自《虞美人·寄公度》
作品原文
芙蓉落尽天涵水，（1）
日暮沧波起 。（2）
背飞双燕贴云寒 ，
独向小楼东畔倚栏看。（3）
浮生只合尊前老 ，（4）
雪满长安道 。
故人早晚上高台，
寄我江南春色一枝梅 。
作品注释
（1）芙蓉：指荷花。
涵：包含 ，包容。
（2）沧：暗绿色（指水） 。
（3）阑：栏杆 。
（4）合：应该。
尊：同“樽 ” ，酒杯 。
作品译文
夏天已过，荷花凋落 。寥廓的天空与浩瀚的江水相连 ，暮色中秋风吹起碧波。比翼的双燕各奔东西 ，贴着高寒的云天，远远飞去 。我独倚在小楼东边的栏杆 。
人生应当饮酒尽欢 ，在半醉半醒中最好。长安大雪漫天 ，阻断了通行的路道 。我知道朋友早晚登楼远望，盼望我的归来 。江南春来早，请赠我梅花一枝 ，让我早早感到春天的温暖和明媚。
词牌格律
中平中仄平平仄（韵） ，
中仄平平仄（韵） 。
中平中仄仄平平（韵），
中仄中平平仄仄平平（韵） 。
中平中仄平平仄（韵） ，
中仄平平仄（韵）。
中平中仄仄平平（韵） ，
中仄中平平仄仄平平（韵）。
注：标“中 ”字处可平可仄 。
作品赏析
上片写日暮登楼所见 。“芙蓉落尽天涵水，日暮沧波起。”芙蓉 ，即荷花 。荷花落尽 ，时当夏末秋初 。秋风江上，日暮远望 ，水天相接 ，烟波无际；客愁离思，亦随烟波荡漾而起。这两句视野开阔 ，而所见秋风残荷、落日沧波等外景 ，则透示出一派苍茫萧索的情调 。“背飞双燕贴云寒 ”，视角由平远而移向高远；正当独立苍茫 、黯然凝望之际，却又见一对燕子 ，相背向云边飞去 。“背飞双燕 ”尤言“劳燕分飞”。《玉台新咏》卷九《东飞伯劳歌》云：“东飞伯劳西飞燕 ，黄姑（牵牛）织女时相见 。”后即用来称朋友离别 。
“贴云寒 ”，状飞行之高；高处生寒 ，由联想而得。着一“寒 ”字 ，又从视感而转化为一种心理感受，暗示着离别的悲凉况味 。“独向小楼东畔倚栏看”是补叙之笔 ，交代前面所写 ，都是小楼东畔倚栏所见 。把宏阔高远的视线收聚到一点，对准楼中倚栏怅望之人。“独 ”字轻轻点出 ，既写倚栏眺景者为独自一人 ，又透露出触景而生的孤独惆怅之感。
“浮生只合尊前老，雪满长安道 。 ”是说光阴荏苒 ，转眼又是岁暮 ，雪满京城，寂寥寡欢，唯有借酒遣日而已 。长安 ，借指京城。“雪满长安” ，既点时地，又渲染出一派冷寂的气氛 ，雪夜把盏 ，却少对酌之人，岁暮怀人的孤凄心境可想而知 。“故人早晚上高台 ，赠我江南春色一枝梅 。 ”顺势而出故人 ，老朋友，指公度。早晚 ，多义词 ，这里为随时 、每日之意 。
“故人早晚上高台，寄我江南春色一枝梅 。 ”这两句是虚写 ，从对方着笔 ，心有同感，用情颇深。想象老朋友也天天登高望远，思念着我；即使道远雪阻 ，他也一定会给我寄赠一枝江南报春的早梅 。这是用南朝宋陆凯折梅题诗以寄范晔的故事 。《荆州记》：“陆凯与范晔交善 ，自江南寄梅花一枝，诣长安与晔。赠诗曰：‘折梅逢驿使 ，寄与陇头人 。江南无所有 ，聊赠一枝春 。’”这里用典，却又切合作者当年与友人置酒相别的一段情事。如此 ，更见其情深而意切。
作者简介
舒亶（1041-1103） ，字信道，号懒堂 ，慈溪（今属浙江）人 。治平二年（1065）进士 ，授临海尉 。神宗时，除神官院主簿 ，迁秦凤路提刑 ，提举两浙常平。后任监察御史里行，与李定同劾苏轼，酿成“乌台诗案 ” 。进知杂御史、判司农寺 ，拜给事中 ，权直学士院，后为御史中丞 。以屡次举劾株连 ，朝野怨望。
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